Algebra & Vector: ระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์เบื้องต้น

วิชา: FMMD 1103 Mathematics and Physics for Health Science · ปี 1 เทอม 1

Part 1 — ระบบสมการเชิงเส้น (Systems of Linear Equations)

Linear Equation คืออะไร?

Linear equation คือสมการที่เขียนได้ในรูป:

a1·x1 + a2·x2 + ... + an·xn = b

โดย b และ coefficients a1, ..., an เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ข้อสำคัญคือ ตัวแปรต้องไม่คูณกันเองและไม่อยู่ใต้ radical เช่น

• 4x1 - 5x2 + 2 = x1 → จัดรูปได้เป็น 3x1 - 5x2 = -2 ✅ เป็น linear
• 4x1 - 5x2 = x1·x2 ❌ ไม่เป็น linear (เพราะมี x1·x2)

System of linear equations คือการนำ linear equations ตั้งแต่สองสมการขึ้นไปมาพิจารณาพร้อมกัน เพื่อหาค่า solution ที่ทำให้ทุกสมการเป็นจริงพร้อมกัน

3 ประเภทของ Linear System (2 ตัวแปร)

จำง่าย: ถ้าแก้ระบบแล้วได้ 0 = 2 → Inconsistent (ขัดแย้ง, ไม่มีคำตอบ) / ถ้าได้ 0 = 0 → Dependent (อนันต์คำตอบ)

วิธีแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปร

วิธีที่ 1: Graphing — วาดเส้นตรงทั้งสอง จุดตัดคือคำตอบ (ไม่แม่นยำในงานจริง)

วิธีที่ 2: Substitution — แก้หาตัวแปรหนึ่งจากสมการแรก แล้วแทนเข้าสมการที่สอง

ตัวอย่าง: -x + y = -5 และ 2x - 5y = 1

1. จากสมการแรก: y = x - 5
2. แทนใน 2x - 5(x-5) = 1 → 2x - 5x + 25 = 1 → -3x = -24 → x = 8
3. แทนกลับ: y = 8 - 5 = 3
4. คำตอบ: (8, 3) → ตรวจสอบในทั้งสองสมการ ✅

วิธีที่ 3: Addition (Elimination) — บวกสมการเพื่อ eliminate ตัวแปรหนึ่ง

ตัวอย่าง: x + 2y = -1 และ -x + y = 3

• บวกกัน: 3y = 2 → y = 2/3
• แทนกลับ: x = -7/3
• คำตอบ: (-7/3, 2/3)

ระบบสมการ 3 ตัวแปร — Elimination

สำหรับ 3 ตัวแปร ใช้หลักการเดิมแต่ทำเป็นขั้น:

1. Eliminate ตัวแปรหนึ่งจาก 2 คู่สมการ → ได้ระบบ 2×2
2. แก้ระบบ 2×2 → ได้ค่าตัวแปรสอง
3. Back-substitute หาตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง: ระบบ 3 สมการ → ลดเป็น upper triangular form:

x - 2y + 3z = 9   ...(1)
    y + 2z = 3    ...(4)
         z = 2    ...(6)

• จาก (6): z = 2
• แทนใน (4): y + 4 = 3 → y = -1
• แทนใน (1): x + 2 + 6 = 9 → x = 1
• คำตอบ: (1, -1, 2)

ประยุกต์ใช้: Break-even Point

ในธุรกิจ: Cost function C(x) = 0.85x + 35,000 และ Revenue function R(x) = 1.55x

Break-even point คือจุดที่ C(x) = R(x):

0.85x + 35,000 = 1.55x
35,000 = 0.7x
x = 50,000 หน่วย

ที่ x = 50,000: R = 1.55 × 50,000 = 77,500 → Break-even point คือ (50,000, 77,500)

Profit function: P(x) = R(x) - C(x) = 1.55x - (0.85x + 35,000) = 0.7x - 35,000