Calculus: Differentiation & Integration
วิชา FMMD 1103 · คณิตศาสตร์และฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์สุขภาพ
ส่วนที่ 1 — แนวคิด Differentiation และ Derivative
ศัพท์พื้นฐานที่ต้องรู้
| คำศัพท์ | ความหมาย | ตัวอย่างสัญลักษณ์ |
|---|---|---|
| Derivative | ฟังก์ชันที่วัดการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทียบกับ x | f'(x) |
| Differential | การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของค่า | dx, dy, dt |
| Differentiate | กระบวนการแปลงฟังก์ชันให้กลายเป็น derivative | df(x)/dx |
| Limit | ให้ตัวแปรเข้าใกล้ค่าหนึ่ง แล้วดูว่า f(x) มีค่าเท่าไหร่ | lim f(x) เมื่อ x→0 |
Rate of Change คืออะไร?
เมื่อ x เปลี่ยนจาก x₁ ไป x₂:
- การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน: Delta y = f(x₂) - f(x₁)
- Rate of change (อัตราการเปลี่ยนแปลง): Delta y / Delta x = [f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ - x₁)
ปัญหาคือ: ถ้ากราฟขึ้นๆ ลงๆ (เช่น กราฟ sine) เส้นลาด (slope) ระหว่าง x₁ กับ x₂ที่ห่างกันมาก ไม่ได้บอกอะไรที่มีความหมาย เพราะมันเฉลี่ยรวมทั้งขาขึ้นและขาลง
วิธีหา Slope ณ จุดใดจุดหนึ่ง → ใช้ Limit
วิธีแก้คือ ดึงจุดสองจุดให้เข้าหากัน โดยให้ Delta x → 0:
Delta y / Delta x = [f(x₁ + Delta x) - f(x₁)] / Delta x
เมื่อ Delta x → 0 สูตรจะกลายเป็น:
f'(x₁) = lim (Delta x → 0) [f(x₁ + Delta x) - f(x₁)] / Delta x
นั่นคือ derivative ณ จุด x₁ = ความชันของ tangent line ที่จุดนั้นพอดี
ตัวอย่าง: f(x) = x²
f'(x) = lim [( x₁ + Δx)² - x₁²] / Δx
= lim [x₁² + 2x₁Δx + (Δx)² - x₁²] / Δx
= lim [2x₁Δx + (Δx)²] / Δx
= lim 2x₁ + Δx
= 2x₁
ดังนั้น: d(x²)/dx = 2x → ได้สูตรทั่วไปสำหรับ polynomial ว่า d(x^n)/dx = n·x^(n-1)
กฎการ Differentiate (Differentiation Rules)
| กฎ | สูตร |
|---|---|
| Constant | d(c)/dx = 0 |
| Constant multiple | [c·f]' = c·f' |
| Sum | [f + g]' = f' + g' |
| Difference | [f - g]' = f' - g' |
| Product | [f·g]' = f·g' + g·f' (หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า) |
| Quotient | [f/g]' = (g·f' - f·g') / g² (ล่างดิฟบน - บนดิฟล่าง หารด้วยล่างกำลังสอง) |
| Power rule | d(x^n)/dx = n·x^(n-1) |
ตัวอย่าง Polynomial:
- d/dx [x⁵ - (1/2)x²] = 5x⁴ - x
- d/dx [2x⁻² - x⁻¹] = -4x⁻³ + x⁻²
- d/dx [(x² + 1)(2x - 2)] ใช้ Product rule: (x² + 1)(2) + (2x - 2)(2x) = 6x² - 4x + 2
- d/dx [x³/(x-1)] ใช้ Quotient rule: [(x-1)(3x²) - x³(1)] / (x-1)² = (2x³ - 3x²) / (x² - 2x + 1)