Probability & Discrete Probability Distributions
ส่วนที่ 1 — พื้นฐาน Probability และ Properties
Probability คืออะไร?
Probability คือการวัดเชิงตัวเลขของ "ความไม่แน่นอน" — มันบอกว่า event หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยแค่ไหน โดยค่าต้องอยู่ในช่วง:
0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(E) = 0 → impossible event (เกิดขึ้นไม่ได้เลย)
- P(E) = 1 → certain event (ต้องเกิดขึ้นแน่นอน)
- P(E) = 0.5 → even chance (50/50)
ในทางการแพทย์ เราใช้ probability อยู่ตลอดเวลา เช่น "โอกาสที่ผู้ป่วยคนนี้จะมี positive screening test คือเท่าไร?" หรือ "โอกาสที่ผู้ป่วยจะเป็นโรคนี้คือเท่าไร?"
ศัพท์สำคัญ
| คำศัพท์ | ความหมาย | ตัวอย่างทางการแพทย์ |
|---|---|---|
| Experiment | กิจกรรมที่ผลลัพธ์ไม่แน่นอน | ทดสอบ diagnostic test กับผู้ป่วย |
| Sample space (S) | เซตของ outcome ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | {positive, negative} |
| Event (E) | subset ของ sample space | event A = {ผลบวก} |
ตัวอย่างเพื่อให้เห็นภาพ: สังเกตเพศของทารกแรกเกิด 3 คนในห้องคลอด
- Sample space S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG} → มีทั้งหมด 2³ = 8 outcomes
- Event A = {at least two boys} = {BBB, BBG, BGB, GBB} → มี 4 outcomes
- P(A) = 4/8 = 0.5
สูตรพื้นฐาน
P(E) = จำนวน outcomes ที่ทำให้ E เกิด / จำนวน outcomes ทั้งหมด
ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋า 1 ลูก
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- E = {เลขคู่} = {2, 4, 6}
- P(E) = 3/6 = 0.5
ตัวอย่าง: ไพ่ 1 สำรับ (52 ใบ)
- P(King) = 4/52 (มี King 4 ใบ ได้แก่ โพดำ โพแดง ข้าวหลามตัด ดอกจิก)
- P(Heart) = 13/52 (มี Heart 13 ใบ)
- P(King of Heart) = 1/52 (มีเพียง 1 ใบ)
- P(Face card) = 12/52 (J, Q, K ของทั้ง 4 สี = 12 ใบ)
Elementary Properties of Probabilities
สิ่งที่ต้องจำให้แม่น — ใช้ในการสอบบ่อยมาก:
- Boundary: 0 ≤ P(A) ≤ 1 และ P(S) = 1
- Partition: P(A1) + P(A2) + … + P(Ak) = 1 (ถ้า events แบ่งแยก sample space หมด)
- Complement: P(A') = 1 − P(A)
- Mutually exclusive (disjoint): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- General Addition Rule: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Independent events: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
- De Morgan's Law: P(A' ∩ B') = 1 − P(A ∪ B)
ทำไมต้องลบ P(A ∩ B)? เพราะเวลาบวก P(A) + P(B) เราจะนับ intersection ซ้ำสองรอบ จึงต้องหักออก 1 ครั้ง
ตัวอย่าง (ทางคลินิก): ผู้ป่วยมาที่ Emergency Department
- P(มีไข้) = 0.60, P(มีไอ) = 0.50, P(มีทั้งไข้และไอ) = 0.40
- P(มีไข้ หรือ มีไอ) = 0.60 + 0.50 − 0.40 = 0.70
ตัวอย่างการคำนวณ: กำหนด P(A) = 3/8, P(B) = 1/2, P(A∩B) = 1/4
- P(A∪B) = 3/8 + 4/8 − 2/8 = 5/8
- P(A') = 1 − 3/8 = 5/8
- P(B') = 1 − 1/2 = 1/2
- P(A'∩B') = 1 − P(A∪B) = 1 − 5/8 = 3/8 (ใช้ De Morgan)
- P(A∩B') = P(A) − P(A∩B) = 3/8 − 2/8 = 1/8