Algebra & Vector: ระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์เบื้องต้น

วิชา: FMMD 1103 Mathematics and Physics for Health Science · ปี 1 เทอม 1

Part 1 — ระบบสมการเชิงเส้น (Systems of Linear Equations)

Linear Equation คืออะไร?

Linear equation คือสมการที่เขียนได้ในรูป:

a1·x1 + a2·x2 + ... + an·xn = b

โดย b และ coefficients a1, ..., an เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ข้อสำคัญคือ ตัวแปรต้องไม่คูณกันเองและไม่อยู่ใต้ radical เช่น

• 4x1 - 5x2 + 2 = x1 → จัดรูปได้เป็น 3x1 - 5x2 = -2 ✅ เป็น linear
• 4x1 - 5x2 = x1·x2 ❌ ไม่เป็น linear (เพราะมี x1·x2)

System of linear equations คือการนำ linear equations ตั้งแต่สองสมการขึ้นไปมาพิจารณาพร้อมกัน เพื่อหาค่า solution ที่ทำให้ทุกสมการเป็นจริงพร้อมกัน

3 ประเภทของ Linear System (2 ตัวแปร)

จำง่าย: ถ้าแก้ระบบแล้วได้ 0 = 2 → Inconsistent (ขัดแย้ง, ไม่มีคำตอบ) / ถ้าได้ 0 = 0 → Dependent (อนันต์คำตอบ)

วิธีแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปร

วิธีที่ 1: Graphing — วาดเส้นตรงทั้งสอง จุดตัดคือคำตอบ (ไม่แม่นยำในงานจริง)

วิธีที่ 2: Substitution — แก้หาตัวแปรหนึ่งจากสมการแรก แล้วแทนเข้าสมการที่สอง

ตัวอย่าง: -x + y = -5 และ 2x - 5y = 1

1. จากสมการแรก: y = x - 5
2. แทนใน 2x - 5(x-5) = 1 → 2x - 5x + 25 = 1 → -3x = -24 → x = 8
3. แทนกลับ: y = 8 - 5 = 3
4. คำตอบ: (8, 3) → ตรวจสอบในทั้งสองสมการ ✅

วิธีที่ 3: Addition (Elimination) — บวกสมการเพื่อ eliminate ตัวแปรหนึ่ง

ตัวอย่าง: x + 2y = -1 และ -x + y = 3

• บวกกัน: 3y = 2 → y = 2/3
• แทนกลับ: x = -7/3
• คำตอบ: (-7/3, 2/3)

ระบบสมการ 3 ตัวแปร — Elimination

สำหรับ 3 ตัวแปร ใช้หลักการเดิมแต่ทำเป็นขั้น:

1. Eliminate ตัวแปรหนึ่งจาก 2 คู่สมการ → ได้ระบบ 2×2
2. แก้ระบบ 2×2 → ได้ค่าตัวแปรสอง
3. Back-substitute หาตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง: ระบบ 3 สมการ → ลดเป็น upper triangular form:

x - 2y + 3z = 9   ...(1)
    y + 2z = 3    ...(4)
         z = 2    ...(6)

• จาก (6): z = 2
• แทนใน (4): y + 4 = 3 → y = -1
• แทนใน (1): x + 2 + 6 = 9 → x = 1
• คำตอบ: (1, -1, 2)

ประยุกต์ใช้: Break-even Point

ในธุรกิจ: Cost function C(x) = 0.85x + 35,000 และ Revenue function R(x) = 1.55x

Break-even point คือจุดที่ C(x) = R(x):

0.85x + 35,000 = 1.55x
35,000 = 0.7x
x = 50,000 หน่วย

ที่ x = 50,000: R = 1.55 × 50,000 = 77,500 → Break-even point คือ (50,000, 77,500)

Profit function: P(x) = R(x) - C(x) = 1.55x - (0.85x + 35,000) = 0.7x - 35,000

Part 2 — Vector เบื้องต้น: Scalar vs. Vector และการดำเนินการ

Scalar vs. Vector

ข้อสังเกตสำคัญ: Speed เป็น scalar (แค่ขนาด) แต่ velocity เป็น vector (ขนาด + ทิศ)

ระบบพิกัด

Cartesian coordinate system (rectangular coordinates): แกน x และ y ตั้งฉากกัน ทุก point ระบุด้วย (x, y)

Polar coordinate system: ระบุจุดด้วย (r, θ) โดย

• r = ระยะห่างจาก origin ถึง point
• θ = มุมจากแกน x บวก วัดทวนเข็มนาฬิกา

แปลงระหว่างสองระบบ:

Cartesian → Polar:   r = sqrt(x^2 + y^2),   tan θ = y/x
Polar → Cartesian:   x = r·cos θ,            y = r·sin θ

ระวัง quadrant! tan θ = y/x อาจให้ค่า θ ผิด quadrant ต้องดูเครื่องหมายของ x, y ประกอบด้วย เช่น จุด (-3.50, -2.50) อยู่ใน quadrant 3 ดังนั้น θ = 216° ไม่ใช่ 35.5°

ความเท่ากันของ Vector

Vector A = Vector B ก็ต่อเมื่อ:

1. ขนาด (magnitude) เท่ากัน: A = B
2. ทิศทางเหมือนกัน

Vector ที่มีขนาดและทิศเหมือนกันถือว่าเท่ากัน แม้จะเริ่มต้นที่จุดต่างกัน → สามารถย้าย vector ขนานกับตัวเองในแผนภาพได้

การบวก Vector (Adding Vectors)

Head-to-tail method: วาด vector B โดยให้หางของ B ติดกับหัวของ A จากนั้น resultant vector R = A + B คือลูกศรที่ลากจากหาง A ไปหัว B

กฎสำคัญ:

• Commutative: A + B = B + A
• Associative: A + (B + C) = (A + B) + C

สามารถบวก vector หลายตัวต่อเนื่องกัน resultant vector คือเส้นที่ปิด polygon (ลากจากหางตัวแรกไปหัวตัวสุดท้าย)

การลบ Vector และการคูณด้วย Scalar

Vector ลบ: -A คือ vector ที่มีขนาดเท่ากับ A แต่ทิศตรงข้าม

A - B = A + (-B)

คูณด้วย scalar m:

• m > 0: ผลลัพธ์มีทิศเดียวกัน กับ A ขนาด = mA
• m < 0: ผลลัพธ์มีทิศตรงข้าม กับ A ขนาด = |m|A

ตัวอย่าง: 5A ยาวกว่า A 5 เท่า ทิศเดิม / -1/3 A สั้นกว่า A 3 เท่า ทิศตรงข้าม

Part 3 — Vector Components และ Unit Vectors

Components of a Vector (การแยก Vector เป็น Components)

เหตุผลที่ต้องแยก component: การบวก vector ด้วยกราฟไม่แม่นยำพอ โดยเฉพาะใน 3 มิติ การแยก component แล้วบวกทางพีชคณิตแม่นยำกว่ามาก

สำหรับ vector A ที่ทำมุม θ กับแกน x:

Ax = A·cos θ   (component ในแนว x)
Ay = A·sin θ   (component ในแนว y)

แปลงกลับจาก components เป็น magnitude และ angle:

A = sqrt(Ax^2 + Ay^2)
θ = arctan(Ay / Ax)

สำคัญ: เครื่องหมายของ Ax และ Ay ขึ้นกับ quadrant เช่น θ = 120° → Ax ลบ, Ay บวก / θ = 225° → ทั้ง Ax และ Ay ลบ

Unit Vectors (เวกเตอร์หนึ่งหน่วย)

Unit vector คือ vector ที่มี magnitude = 1 ไม่มีหน่วย ใช้บอกทิศทางเท่านั้น

ใช้สัญลักษณ์ i-hat, j-hat, k-hat แทน unit vector ในทิศ x, y, z ตามลำดับ (สังเกต "hat" บนหัวตัวอักษร)

เขียน vector A ในรูป unit vector notation:

A (2D) = Ax·i-hat + Ay·j-hat
A (3D) = Ax·i-hat + Ay·j-hat + Az·k-hat

การบวก vector ด้วย component method:

ถ้า R = A + B:

Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
R = sqrt(Rx^2 + Ry^2)
tan θ = Ry / Rx

ใน 3 มิติ: magnitude = sqrt(Rx^2 + Ry^2 + Rz^2)

มุมที่ R ทำกับแกน x: cos θx = Rx / R

ตัวอย่าง: การรวม 3D Displacement

อนุภาคเคลื่อนที่ 3 ครั้งต่อเนื่องกัน:

Δr1 = (15·i-hat + 30·j-hat + 12·k-hat) cm
Δr2 = (23·i-hat - 14·j-hat - 5.0·k-hat) cm
Δr3 = (-13·i-hat + 15·j-hat) cm

รวม components แต่ละแกน:

x: 15 + 23 - 13 = 25 cm
y: 30 - 14 + 15 = 31 cm
z: 12 - 5 + 0  = 7 cm

Resultant: Δr = (25·i-hat + 31·j-hat + 7.0·k-hat) cm

Magnitude: R = sqrt(25^2 + 31^2 + 7^2) = sqrt(625 + 961 + 49) = sqrt(1635) ≈ 40 cm

สรุป Properties of Vector Operations