Trigonometry & Logarithm พื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์สุขภาพ
ส่วนที่ 1 — Radian, Degree และ Trigonometric Functions พื้นฐาน
Radian คืออะไร?
เราคุ้นกับการวัดมุมในหน่วย degree (องศา) แต่ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ระดับสูง มักใช้หน่วย radian (rad) เพราะสะดวกในการคำนวณ
วงกลมเต็มวง = 360° = 2π radian
ความยาวส่วนโค้ง (arc length) หาได้จาก:
S = θ × r
โดยที่ θ คือมุมในหน่วย radian และ r คือรัศมี
ตัวอย่าง: ถ้า θ = π/3 และ r = 12 → arc length = (π/3) × 12 = 4π
การแปลงหน่วย Radian ↔ Degree
ใช้ความสัมพันธ์: 360° = 2π rad → 1 rad = 180°/π ≈ 57.3°
| Degree | Radian |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 120° | 2π/3 |
| 180° | π |
| 270° | 3π/2 |
| 360° | 2π |
ตัวอย่าง: π/6 rad = (π/6) × (360°/2π) = 30°
ตัวอย่าง: 120° = 120 × (2π/360) = 2π/3 rad
Sine, Cosine, Tangent — นิยามบนสามเหลี่ยมมุมฉาก
สำหรับมุม θ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก:
- sin θ = ด้านตรงข้าม (Opposite) / ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) = O/H
- cos θ = ด้านประชิด (Adjacent) / Hypotenuse = A/H
- tan θ = Opposite / Adjacent = O/A
บน unit circle (r = 1) จะได้:
- sin θ = y
- cos θ = x
- tan θ = y/x (เท่ากับ slope ของเส้นรัศมี)
ฟังก์ชัน reciprocal ที่ต้องรู้จัก:
- csc θ = 1/sin θ
- sec θ = 1/cos θ
- cot θ = 1/tan θ = cos θ/sin θ
ค่าของมุมพิเศษที่ต้องจำ
| มุม | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | undefined |
Equivalent Angles — มุมที่สมมูลในแต่ละ Quadrant
unit circle แบ่งออกเป็น 4 quadrant (Q1-Q4) โดยเครื่องหมายของ sin และ cos ต่างกัน:
- Q1 (0°–90°): sin +, cos +
- Q2 (90°–180°): sin +, cos − → sin(180°−θ) = sin θ, cos(180°−θ) = −cos θ
- Q3 (180°–270°): sin −, cos − → sin(180°+θ) = −sin θ, cos(180°+θ) = −cos θ
- Q4 (270°–360°): sin −, cos + → sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ
ตัวอย่างการใช้งาน:
- sin(150°) = sin(180°−30°) = sin(30°) = 1/2
- sin(210°) = sin(180°+30°) = −sin(30°) = −1/2
- cos(−30°) = cos(30°) = √3/2
- tan(120°) = tan(180°−60°) = −tan(60°) = −√3