Trigonometry & Logarithm พื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์สุขภาพ

ส่วนที่ 1 — Radian, Degree และ Trigonometric Functions พื้นฐาน

Radian คืออะไร?

เราคุ้นกับการวัดมุมในหน่วย degree (องศา) แต่ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ระดับสูง มักใช้หน่วย radian (rad) เพราะสะดวกในการคำนวณ

วงกลมเต็มวง = 360° = 2π radian

ความยาวส่วนโค้ง (arc length) หาได้จาก:

S = θ × r

โดยที่ θ คือมุมในหน่วย radian และ r คือรัศมี

ตัวอย่าง: ถ้า θ = π/3 และ r = 12 → arc length = (π/3) × 12 = 4π

การแปลงหน่วย Radian ↔ Degree

ใช้ความสัมพันธ์: 360° = 2π rad → 1 rad = 180°/π ≈ 57.3°

ตัวอย่าง: π/6 rad = (π/6) × (360°/2π) = 30°
ตัวอย่าง: 120° = 120 × (2π/360) = 2π/3 rad

Sine, Cosine, Tangent — นิยามบนสามเหลี่ยมมุมฉาก

สำหรับมุม θ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• sin θ = ด้านตรงข้าม (Opposite) / ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) = O/H
• cos θ = ด้านประชิด (Adjacent) / Hypotenuse = A/H
• tan θ = Opposite / Adjacent = O/A

บน unit circle (r = 1) จะได้:

• sin θ = y
• cos θ = x
• tan θ = y/x (เท่ากับ slope ของเส้นรัศมี)

ฟังก์ชัน reciprocal ที่ต้องรู้จัก:

• csc θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ = cos θ/sin θ

ค่าของมุมพิเศษที่ต้องจำ

Equivalent Angles — มุมที่สมมูลในแต่ละ Quadrant

unit circle แบ่งออกเป็น 4 quadrant (Q1-Q4) โดยเครื่องหมายของ sin และ cos ต่างกัน:

• Q1 (0°–90°): sin +, cos +
• Q2 (90°–180°): sin +, cos − → sin(180°−θ) = sin θ, cos(180°−θ) = −cos θ
• Q3 (180°–270°): sin −, cos − → sin(180°+θ) = −sin θ, cos(180°+θ) = −cos θ
• Q4 (270°–360°): sin −, cos + → sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ

ตัวอย่างการใช้งาน:

• sin(150°) = sin(180°−30°) = sin(30°) = 1/2
• sin(210°) = sin(180°+30°) = −sin(30°) = −1/2
• cos(−30°) = cos(30°) = √3/2
• tan(120°) = tan(180°−60°) = −tan(60°) = −√3

ส่วนที่ 2 — Sinusoidal Functions และ Trigonometric Identities

Trigonometric Identities ที่สำคัญ

Pythagorean identities (มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส x² + y² = r²):

• cos²θ + sin²θ = 1
• 1 + cot²θ = csc²θ
• 1 + tan²θ = sec²θ

Even-odd identities (cos เป็น even function, sin และ tan เป็น odd function):

• cos(−θ) = cos θ ← cos คือ "even" ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
• sin(−θ) = −sin θ ← sin คือ "odd" เปลี่ยนเครื่องหมาย
• tan(−θ) = −tan θ

Quotient identities:

• tan θ = sin θ / cos θ
• cot θ = cos θ / sin θ

Sinusoidal Functions — รูปแบบทั่วไป

General form:

y = A sin(Bx − C) + D หรือ y = A cos(Bx − C) + D

แต่ละพารามิเตอร์มีความหมายดังนี้:

ตัวอย่าง: y = 3 sin(2x) + 1

• A = 3 → amplitude = 3
• B = 2 → period = 2π/2 = π
• C = 0 → phase shift = 0
• D = 1 → midline ที่ y = 1

Sine & Cosine Graphs — ลักษณะของกราฟ

กราฟ sin และ cos เรียกว่า sinusoidal ทั้งคู่มีรูปร่างคล้ายกัน แต่ต่างกันที่จุดเริ่มต้น:

• sin(0) = 0, cos(0) = 1
• cos(θ) leading sin(θ) by π/2 rad — กราฟ cos อยู่ "นำหน้า" กราฟ sin ด้วย π/2

กราฟ tangent มีลักษณะพิเศษ:

• มี vertical asymptote ที่ θ = π/2, 3π/2, ... (ตรงที่ cos = 0 ทำให้ tan = y/x หาร 0 ไม่ได้)
• Period = π (สั้นกว่า sin และ cos ที่มี period = 2π)

Phase Shift และ Vertical Shift

• ถ้า C > 0 → กราฟเลื่อนไปทาง ขวา C/B หน่วย
• ถ้า C < 0 → กราฟเลื่อนไปทาง ซ้าย |C/B| หน่วย
• D บอกว่า midline (แกนกลางของการแกว่ง) อยู่ที่ y = D
  ตัวอย่าง: y = sin(x) + 2 มี midline ที่ y = 2 กราฟทั้งหมดเลื่อนขึ้น 2 หน่วย

ส่วนที่ 3 — Exponential และ Logarithmic Functions

Exponential Function

Exponential function คือฟังก์ชันที่ตัวแปรอยู่ที่ exponent (ต่างจาก polynomial ที่ตัวแปรอยู่ที่ฐาน)

กฎสำคัญของ exponent:

ตัวอย่าง: 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ และ (2³)⁴ = 2^(3×4) = 2¹²

Logarithmic Function — inverse ของ exponential

Logarithm คือ "plot ของ exponent" — บอกว่าต้องยกฐานขึ้นเป็นกำลังเท่าไรจึงได้ค่าที่ต้องการ

log₁₀(10ˣ) = x

ตัวอย่าง: log₁₀(10¹) = 1, log₁₀(10²) = 2, log₁₀(10³) = 3

ทำไมต้องใช้ logarithmic scale? — เมื่อข้อมูลมีขนาดต่างกันมาก (หลาย orders of magnitude) เช่น 10, 100, 1000, 10000 กราฟ linear จะทำให้มองไม่เห็นค่าที่น้อย แต่ logarithmic scale ทำให้เห็นทุกค่าได้ชัดเจน ตัวอย่างในทางการแพทย์: pH และ decibel (dB)

Logarithmic Properties

Product rule: log_b(A × B) = log_b(A) + log_b(B)
→ บวก log เมื่อคูณ

Quotient rule: log_b(M/N) = log_b(M) − log_b(N)
→ ลบ log เมื่อหาร

Power rule: log_b(A^n) = n × log_b(A)
→ ย้าย exponent มาคูณหน้า

ค่าพิเศษ: log_b(1) = 0, log_b(b) = 1

Change of base: log_m(A) = log₁₀(A) / log₁₀(m)

ตัวอย่างทางการแพทย์ — pH และ Logarithm

pH = −log[H⁺]

ถ้าความเข้มข้นของ H⁺ เพิ่มเป็น 2 เท่า (จาก C เป็น 2C):

• pH ใหม่ = −log(2C) = −(log 2 + log C) = −log 2 − log C
• pH เดิม = −log C = P
• pH ใหม่ = P − log 2 ≈ P − 0.301

สรุป: เมื่อ [H⁺] เพิ่มเป็น 2 เท่า → pH ลดลงประมาณ 0.301 หน่วย

นี่คือเหตุผลที่ pH scale ใช้ logarithm — การเปลี่ยนแปลง pH เพียง 1 หน่วยหมายถึงความเข้มข้นเปลี่ยน 10 เท่า