Probability & Discrete Probability Distributions

ส่วนที่ 1 — พื้นฐาน Probability และ Properties

Probability คืออะไร?

Probability คือการวัดเชิงตัวเลขของ "ความไม่แน่นอน" — มันบอกว่า event หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยแค่ไหน โดยค่าต้องอยู่ในช่วง:

0 ≤ P(E) ≤ 1

• P(E) = 0 → impossible event (เกิดขึ้นไม่ได้เลย)
• P(E) = 1 → certain event (ต้องเกิดขึ้นแน่นอน)
• P(E) = 0.5 → even chance (50/50)

ในทางการแพทย์ เราใช้ probability อยู่ตลอดเวลา เช่น "โอกาสที่ผู้ป่วยคนนี้จะมี positive screening test คือเท่าไร?" หรือ "โอกาสที่ผู้ป่วยจะเป็นโรคนี้คือเท่าไร?"

ศัพท์สำคัญ

ตัวอย่างเพื่อให้เห็นภาพ: สังเกตเพศของทารกแรกเกิด 3 คนในห้องคลอด

• Sample space S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG} → มีทั้งหมด 2³ = 8 outcomes
• Event A = {at least two boys} = {BBB, BBG, BGB, GBB} → มี 4 outcomes
• P(A) = 4/8 = 0.5

สูตรพื้นฐาน

P(E) = จำนวน outcomes ที่ทำให้ E เกิด / จำนวน outcomes ทั้งหมด

ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋า 1 ลูก

• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• E = {เลขคู่} = {2, 4, 6}
• P(E) = 3/6 = 0.5

ตัวอย่าง: ไพ่ 1 สำรับ (52 ใบ)

• P(King) = 4/52 (มี King 4 ใบ ได้แก่ โพดำ โพแดง ข้าวหลามตัด ดอกจิก)
• P(Heart) = 13/52 (มี Heart 13 ใบ)
• P(King of Heart) = 1/52 (มีเพียง 1 ใบ)
• P(Face card) = 12/52 (J, Q, K ของทั้ง 4 สี = 12 ใบ)

Elementary Properties of Probabilities

สิ่งที่ต้องจำให้แม่น — ใช้ในการสอบบ่อยมาก:

1. Boundary: 0 ≤ P(A) ≤ 1 และ P(S) = 1
2. Partition: P(A1) + P(A2) + … + P(Ak) = 1 (ถ้า events แบ่งแยก sample space หมด)
3. Complement: P(A') = 1 − P(A)
4. Mutually exclusive (disjoint): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
5. General Addition Rule: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
6. Independent events: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
7. De Morgan's Law: P(A' ∩ B') = 1 − P(A ∪ B)

ทำไมต้องลบ P(A ∩ B)? เพราะเวลาบวก P(A) + P(B) เราจะนับ intersection ซ้ำสองรอบ จึงต้องหักออก 1 ครั้ง

ตัวอย่าง (ทางคลินิก): ผู้ป่วยมาที่ Emergency Department

• P(มีไข้) = 0.60, P(มีไอ) = 0.50, P(มีทั้งไข้และไอ) = 0.40
• P(มีไข้ หรือ มีไอ) = 0.60 + 0.50 − 0.40 = 0.70

ตัวอย่างการคำนวณ: กำหนด P(A) = 3/8, P(B) = 1/2, P(A∩B) = 1/4

1. P(A∪B) = 3/8 + 4/8 − 2/8 = 5/8
2. P(A') = 1 − 3/8 = 5/8
3. P(B') = 1 − 1/2 = 1/2
4. P(A'∩B') = 1 − P(A∪B) = 1 − 5/8 = 3/8 (ใช้ De Morgan)
5. P(A∩B') = P(A) − P(A∩B) = 3/8 − 2/8 = 1/8

ส่วนที่ 2 — Conditional Probability และ Bayes' Theorem

Conditional Probability คืออะไร?

Conditional Probability คือโอกาสที่ event A จะเกิดขึ้น โดยรู้ว่า event B เกิดขึ้นแล้ว เขียนแทนด้วย P(A|B) อ่านว่า "probability of A given B"

เมื่อรู้ว่า B เกิดขึ้นแล้ว เราจะ จำกัด sample space ให้เหลือแต่ B — แล้วดูว่าใน B นั้นมีโอกาสเกิด A ได้แค่ไหน

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)    [โดยที่ P(B) > 0]

ตัวอย่างให้เห็นภาพ: โยนเหรียญ 3 ครั้ง

• Event A = "จำนวน tail เป็นเลขคี่"
• Event B = "toss แรกออก tail"
• ถ้ารู้ว่า toss แรกออก tail แล้ว → sample space จำกัดเหลือ: {TTT, TTH, THT, THH}
• ใน 4 outcomes นั้น มี A เกิด (tail เป็นเลขคี่) ใน {TTT, THH} = 2 outcomes
• P(A|B) = 2/4 = 0.5

สูตรสำคัญ: Joint Probability

จากนิยาม conditional probability สามารถจัดรูปได้:

P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) = P(B|A) × P(A)

นี่คือ: Joint Prob = Conditional Prob × Marginal Prob

Bayes' Theorem ในทางการแพทย์

Bayes' Theorem ช่วยตอบคำถามว่า: "ถ้า diagnostic test ให้ผลบวก โอกาสที่ผู้ป่วยจะเป็นโรคจริงๆ คือเท่าไร?"

P(Disease | + test) = P(+ test | Disease) × P(Disease)
                      ─────────────────────────────────────────────────────
                      P(+ test|Disease)×P(Disease) + P(+ test|No disease)×P(No disease)

ซึ่งสามารถเขียนในรูป Bayesian terminology ได้ว่า:

posterior = (prior × likelihood) / evidence

ตัวอย่างคลินิก: Pap smear สำหรับมะเร็งปากมดลูก

กำหนดค่าดังนี้:

• P(T+|C+) = 0.84 → Sensitivity (ความไว: ผู้ป่วยที่เป็นโรค test ให้ผลบวก 84%)
• P(T+|C−) = 0.10 → False positive rate (คนไม่เป็นโรค แต่ test ให้ผลบวก 10%)
• P(C+) = 0.00008 → Prevalence (ความชุกโรคในประชากร)
• P(C−) = 0.99992

คำถาม: ถ้า test ให้ผลบวก โอกาสที่จะเป็นโรคจริงคือเท่าไร?

P(C+|T+) = (0.84 × 0.00008) / [(0.84 × 0.00008) + (0.10 × 0.99992)]
          = 0.0000672 / (0.0000672 + 0.099992)
          = 0.000672

ข้อสังเกตสำคัญ: แม้ test จะมี sensitivity ถึง 84% แต่เพราะ prevalence ต่ำมาก (8/100,000) ทำให้ Positive Predictive Value (PPV) ต่ำมาก แค่ 0.067% เท่านั้น — นี่คือเหตุผลว่าทำไม screening test ในโรคที่ rare มักให้ false positive จำนวนมาก

ตัวอย่างคำนวณ Conditional Probability: P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A∩B) = 1/4

1. P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/4)/(1/3) = (1/4) × 3 = 3/4
2. P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (1/4)/(1/2) = (1/4) × 2 = 1/2
3. P(A∪B) = 1/2 + 1/3 − 1/4 = 6/12 + 4/12 − 3/12 = 7/12

ส่วนที่ 3 — Random Variables และ Discrete Probability Distributions

Random Variable คืออะไร?

Random Variable คือตัวแปรที่แปลง outcome ของ experiment ให้เป็น ตัวเลข โดยค่าของมันถูกกำหนดโดย chance

• ใช้ตัวพิมพ์ใหญ่แทน Random Variable เช่น X
• ใช้ตัวพิมพ์เล็กแทนค่าที่เป็นไปได้ เช่น x

ตัวอย่าง: โยนเหรียญ → Head = 1, Tail = 0 เป็นต้น

Discrete Random Variable

Discrete Random Variable คือ random variable ที่มีค่าเป็น จำนวนนับ (finite หรือ countably infinite)

ตัวอย่างทางการแพทย์:

• X = {0, 1} — ผู้ป่วยติดเชื้อไข้หวัด (1) หรือไม่ (0)
• Y = {0, 1, …, n} — จำนวนผู้ป่วยที่หายจากการรักษาใน n ราย
• Z = {0, 1, 2, …} — จำนวนผู้ป่วยที่มาห้องฉุกเฉินต่อชั่วโมง

Probability Mass Function (PMF) และ CDF

PMF: f(x) = P(X = x) โดยต้องมีคุณสมบัติ:

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 สำหรับทุกค่า x
2. ผลรวมของ f(x) ทุกค่า = 1

CDF: F(x) = P(X ≤ x) — สะสมความน่าจะเป็นตั้งแต่ต้นจนถึง x

Properties ที่ต้องจำ:

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a−1)  [= F(b) − F(a−1)]
P(X < b)     = P(X ≤ b−1)               [= F(b−1)]
P(X ≥ a)     = 1 − P(X ≤ a−1)           [= 1 − F(a−1)]

Bernoulli, Binomial, และ Poisson Distribution

Bernoulli Distribution

1 trial ที่ผลออกมาได้แค่ success (p) หรือ failure (1−p) → เป็น special case ของ Binomial ที่ n = 1

Binomial Distribution: X ~ Bin(n, p)

ใช้เมื่อ:

• มีการทดลองอิสระจำนวน n ครั้งคงที่
• แต่ละครั้งมีผลแค่ success (p) หรือ failure (1−p)
• p คงที่ทุก trial

P(X = x) = C(n,x) × p^x × (1−p)^(n−x)    ; x = 0, 1, …, n

โดย C(n,x) = n! / [x! × (n−x)!]

ตัวอย่าง: ประชากร 10% ตาบอดสี สุ่ม 25 คน — X ~ Bin(25, 0.1)

• P(X = 4) = C(25,4) × (0.1)^4 × (0.9)^21 = 0.1384
• P(X ≤ 5) = F(5) = 0.9666
• P(X ≥ 6) = 1 − F(5) = 1 − 0.9666 = 0.0334
• P(6 ≤ X ≤ 9) = F(9) − F(5) = 0.9999 − 0.9666 = 0.0333

Poisson Distribution: X ~ Poisson(λ)

ใช้สำหรับ นับจำนวนเหตุการณ์ ใน interval ที่ fixed (เวลา, พื้นที่, ระยะทาง)

• λ (lambda) = ค่าเฉลี่ยของเหตุการณ์ใน interval นั้น
• Mean = Variance = λ (จุดสำคัญ!)
• Standard deviation = square root of λ

P(X = x) = (e^(−λ) × λ^x) / x!    ; x = 0, 1, 2, …

ตัวอย่างทางการแพทย์:

• จำนวนผู้ป่วยที่มาห้องฉุกเฉินต่อชั่วโมง
• จำนวนผู้ป่วยใหม่ COVID-19 ต่อเดือน

ตัวอย่าง: อัตราการฆ่าตัวตายของวัยรุ่นเฉลี่ย 2 รายต่อเดือน — X ~ Poisson(λ = 2)

• P(X = 3) = (e^(−2) × 2^3) / 3! = 0.1804
• P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.4060
• P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5) = 1 − 0.9834 = 0.0166

คู่มือเลือก Distribution

Excel Commands สำหรับการคำนวณ

Memory aid: FALSE = Exactly (PMF); TRUE = Cumulative/At most (CDF)